αλυσοειδής καμπύλη

Ονομάζεται έτσι η καμπύλη του επιπέδου με σχήμα της αυτό που παίρνει ένα ομοιογενές, ευλύγιστο και ανέκτατο νήμα, που κρέμεται ελεύθερα στο πεδίο της βαρύτητας από τα δύο του άκρα (φυσικά, τα σημεία στήριξης των άκρων του έχουν απόσταση μικρότερη από το μήκος του νήματος). Ο Γαλιλαίος είχε τη γνώμη ότι η καμπύλη που προκύπτει με τον προηγούμενο τρόπο είναι παραβολή· η άποψη αυτή επικράτησε μεταξύ των συγχρόνων του μαθηματικών. Πρώτος ο Ολλανδός μαθηματικός Χριστιανός Χούγκενς (1629-95) απέδειξε πειραματικά (1669) ότι η άποψη του Γαλιλαίου ήταν εσφαλμένη. Φαίνεται όμως ότι η πρώτη σοβαρή θεωρητική μελέτη της α.κ. οφείλεται στον Ιάκωβο Μπερνούλι (1691). Σε ένα σύστημα ορθογώνιο xOy η α.κ. παριστάνεται με την εξίσωση: όπου α είναι μία σταθερά που ονομάζεται: το ύψος της α., και e η βάση του συστήματος των φυσικών λογαρίθμων. Ο άξονας χ ονομάζεται: η κατευθύνουσα της α.κ. Το σχήμα μας δείχνει μια α.κ. Η α.κ. έχει αξιόλογες χαρακτηριστικές ιδιότητες· έτσι 1) κάθε καμπύλη του επιπέδου με τα κοίλα της προς τα άνω (δηλαδή προς τα θετικά y, σε ένα ορθογώνιο σύστημα αναφοράς xOy) και με ακτίνα καμπυλότητας στο οποιοδήποτε σημείο της M=(x,y) ίση με την τεταγμένη y του σημείου αυτού είναι μια α.κ. με κατευθύνουσα τον άξονα x· 2) η ορθή προβολή Π’Μ του τμήματος ΠΜ (βλ. σχήμα) πάνω στην κάθετο ΜΚ της α. στο σημείο Μ είναι ίση με το προβαλλόμενο τμήμα. Η εξίσωση της α. συμβολίζεται σύντομα έτσι: είτε όπου το σύμβολο ch ή cosh διαβάζεται: υπερβολικό συνημίτονο (υπερβολική συνάρτηση). Το όνομα της α.κ. οφείλεται στο ότι κάθε αλυσίδα που κρέμεται ελεύθερα από τα δύο της άκρα παίρνει (στο πεδίο της βαρύτητας) το σχήμα μιας α.κ. Μία συγγενής καμπύλη με την α. είναι εκείνη, που παίρνουν το σχήμα της οι αλυσίδες των κρεμαστών γεφυρών· εκεί δεν επενεργεί μόνο το βάρος τους, αλλά και το βάρος της γέφυρας.